规律探究题类型1数式或图形的规律探究知识铺垫解决数式或图形规律题的一般思路1.标序号；2.分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”,应结合各式或图形的序号进行前后对比分析；3.猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来;4.验证所归纳的结论，从而进行后续解答.1.[2023山东济宁中考改编]已知一列均不为1的数，，，，满足如下关系：，，，，，则的BA.B.C.2.[2023南阳宛城区一...
2024河南中考数学二轮重难题型精讲练微专题与线段有关的最值问题类型一利用垂线段最短求最值一、一定一动(点到直线的所有线段中，垂线段最短)模型分析如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PH，则点P到直线l的最短距离为PH，即“垂线段最短”．模型应用1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为()第1题图A.3B.4C.5D.62.如图，在Rt△AOB中，OB＝23，∠A＝30°，...
2024河南中考数学二轮重难题型精讲练微专题与线段有关的最值问题类型一利用垂线段最短求最值一、一定一动(点到直线的所有线段中，垂线段最短)模型分析如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PH，则点P到直线l的最短距离为PH，即“垂线段最短”．模型应用1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为()第1题图A.3B.4C.5D.62.如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，...
最值问题——垂线段最短（含胡不归模型）以题串模型例一题多问在中，，，点为的中点，图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）（1）如图（1），若点，分别为线段，①连接，则2②连接，，则2（2）如图（2），若点，分别为线段，上的动点，连接，.①当的值最小时，在图（3）中作出点，图（1）[答案]如图（1）所示（注：点是点关于点，）②的最（3）如图（4），点是上一点，且，点，，上的动点，连接，①当的值最小时，在图（5）中作...
中点问题类型总结类型作法结论构造中位线点,分别是,的中点.①____,②__,点是的中点.类型作法结论构造直角三角形斜边上的中线在中,,点是的中点.④____在中⑤续表类型作法结论倍长中线、类中线是的中线.⑦______在中,是⑧续表强化训练类型1利用三角形中位线定理解题（第1题）1.如图,在中,点,,分别是,,知,则BA.B.C.D.（第2题）2.如图所示,是的边的中点,,于点,连接,若,则的长BA.10B.12C.14D.163.如图所示,点,分别是的边,,过点作,交...
与角平分线相关的6大模型类型总结类型描述图示结论见角平分线，用性质定理已知是的平分线,于点.作法：过点作1.①______；2.②____；3.③_类型描述图示结论角平分线垂直三线合一已知是的平分线，于点.作法:延长交④____；2.⑤____；3.⑥______；4.⑦续表类型描述图示结论角平分线平行线等腰三角形平分，BA与的数量关系为⑧_____________平分，AB与的数量关系为⑨_续表类型描述图示结论角平分线平行线等腰三角形平分，平分，1.⑩_...
特殊三角形中的分类讨论类型总结类型说明等腰三角形的顶角或底角不确定已知等腰三角形的一个角为，确定顶角与底角的度数.分以下三种情况讨论.若是钝角，则为顶角，底角度数是.若是直角，则为顶角，底角为.若是锐角，则可能是顶角，也可能是底角.当类型说明等腰三角形的如图（1），已知线段和直线，在直线上确定点，使是等腰三角形._续表类型说明直角三角形的如图（1），已知线段和直线，在直线上确定点，使是直角三角形._续表强...
平面直角坐标系中的三角形面积的计算微点1一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形的面积的计算一边在坐标轴上一边平行于坐标轴的面积（在坐标轴上或与坐标轴平行，是边上的高）强化训练1.[2023湖北鄂州]如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线（其中于,两点,过点作轴,交点,则2.[2023江西]如图，已知直线的图象交于点，与轴交于点过点作轴的平行线交反比例函数图象于点（1）求直线[答案]直线与反比例函数的图象交于点，，,，,直线...
两直线垂直，“”值积为问题引入如图（1），在平面直角坐标系中，直线，为常数，且与直线,垂直，求探究1如图（2），当直线二、四探究2将探究1中的直线，进行平移，平移后直线，的“_________变化（填“发生”或“不发生”），不发生平分线,直线经过原点时，易知直线____,探究3当直线经过原点，且非第一、三象限的角平分线，直线时，如图（3），在直线上任取一点，过点作轴于点线上任取一点，过点作轴于点图（3）设点的坐标为，...
两点之间，线段最短（将军饮马模型以及变形）以题串模型例1一题多问在平面直角坐标系中，，，，点轴上一动点，连接，，（1）当的值最小时，在图（1）中作出点的位置，小值为_图（1）[答案]如图（1）所示.如图（1）（2）当的值最小时，在图（2）中作出点的位置，小值为_图（2）[答案]如图（2）所示.图（2）（3）当的值最大时，在图（3）中作出点的位置，的最大值为_图（3）[答案]如图（3）所示.图（3）（4）当的值最大时，在图（...
建立平面直角坐标系解决与特殊四边形相关的线段长问题1.在求某些特殊四边形中线段的长时，对于某些以正方形、矩形、含或角的平行四边形或菱形为背景,尤其是涉及中点的题目，若一时找不到解题突破口，可考虑建立适当的平面直角坐标系，利用数形结合思想将其转化为两点间的距离问题.2.建立平面直角坐标系解决与特殊四边形相关的线段长问题的一般步骤：（1）建立恰当的平面直角坐标系，使与待求线段的端点相关的点的坐标、直线的表...
根据直线上点的坐标求“k”值思维引导系列一点（非原点）的坐标，求背景点是直线上一点（非原点），直线与轴所夹锐角为.推理过程将代入，得.图示及__重要结论1.函数的值等于其图象上任意一点（非原点）的纵坐标与横坐标之比.2.当时，等于直线与轴所夹锐角的正切值；当时，等于直线与轴所夹锐角的正切值的相反数.续表线上两点的坐标，求背景点，是直线上两点，直线与轴所夹锐角为.推理过程将，分别代入，得，得所以图示及与的关...
反比例函数中的常见模型探究系列以题串模型例1如图，直线,均经过原点，直线交于点，，直线与双曲线交于点,（1）线段线段_（2）顺次连接点，，，①四边形平行四边形②若，则___时,四边形5模型总结类型1对称模型如图，过原点的直线与双曲线交于点，重要结论：①点，关于点.例2一题多问如图（1），双曲线与矩形，.图（）图（）图（）图（）图（）（1）如图（2），过点作于点，过点作于点①___=②连接，，求证:证明：，，，.③，的...
反比例函数中的几何意义的相关计算微点1以单函数图象为背景图形的顶点在反比例函数的图象上①②③④___.（填“”“______________________________点，关于原点对________________________________点，_________________________________点，关于原_____________________________________续表强化训练（第1题）1.[2023山东烟台]如图，在直角坐标系中，与于点,为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则为____．24...
对角互补模型探究系列模型总结基本模型图示常用辅助线结论—模型①_____.基本模型图示常用辅助线结论—模型特殊地，点在的平分线上：_②_____；2.③____；3.,,之间续表基本模型图示常用辅助线结论—⑤_____.特殊地，点在的平分线上：⑥_____；2续表基本模型图示常用辅助线结论—模型⑨_____.续表基本模型图示常用辅助线结论特殊地，点在的平分线上：_⑩_____；2.⑪____；3.,,之间的数量关系为续表强化训练1.如图，在四边形中，...
动态直线问题的求解方法类型1旋转型动态直线问题图（1）问题引入1对于直线（为常数），随着的变化，直线（选填“旋转”“平移”或“对称”）.在图（1）中画三条的直线旋转[答案]图略.图（2）问题引入2对于直线（式可化为（______），随着值的变化，直线点______，并绕点______作______变换（选填“旋转”“平移”或“对称”）.在图（2）中画三条值不同的直线旋转[答案]图略.图（3）问题引入3对于直线（表达式可化为（______），...
动点的运动路径问题类型1直线类运动路径问题（第1题）1.如图，在矩形中，，，点为的中点，点为上一动点，将绕点，得到线段，连接，若点在矩形（包括边界），则6（第2题）2.如图，，点为射线上一定点，点射线上一动点，且点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动，设运动时间为秒．连接，以右侧作等边三角形．当时，点___．6（第3题）3.如图，点在线段，，．点为线段上一动点，在动点从点运动到点的过程中，线段的中点长为_（...
半角模型探究系列以题串模型例1一题多问如图（1），四边形是正方形，分别与直线、直线交于点，，射线分别与直线线交于点,图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）（1）当点在线段①如图（2），请延长到点，使，并证明[答案]如图（1）.图（1）证明：连接，，，，，，.又，，②如图（3），将绕点顺时针旋转，得到，并证明图（2）[答案]如图（2）.证明：连接由题意得，.,，,，.又,.（2）当点在线段①如图（4），，，②如图（5），，，...
“一线三等角”模型探究系列模型说明“一线三等角”模型指的是三个等角的顶点在同一条直线上的模型，也称为型”相似模型，如图，特别地，当模型类别及相关结论型:三等角在直线同侧燕尾型：直线穿过一等角锐角直角钝角锐角直角钝角重要结论：1.①______；2.若，则②______，③重要结论：1.;2.若,则.续表强化训练（第1题）1.[2023山东东营]如图，为等边三角形，点，分别在边，上，.若，则的CA.1.8B.2.4C.3D.3.2（第2题）2.如图，...
“手拉手”全等模型以题串模型例一题多问如图（1），在等腰三角形中，，点，分别为，上的点，且.将绕点接，.图（1）图（2）图（3）图（4）（1）图（1）中，与（2）在图（2）的情形下，求证：证明：，.又，，.（3）图（2）中，延长交于点，求的度数.（用含表示）[答案]设,交于点.，.又，.（4）当①与的②延长，交于点，则（5）当①与的②设，交于点，则模型总结如图，，，,将点旋转，直线，交于点，所夹较小的角为重要结论：1.点...
