三角形中的最值问题与分类讨论问题三角形中的最值问题（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹问题）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴...
铅垂法求三角形面积最值问题知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知A1,1、B7,3、C4,7，求△ABC的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF，用矩形...
平行四边形中的周长和面积问题题型一平行四边形中的周长问题1．如图，在ABCD中，AEBC于点E，AFCD交DC于DC的延长线于点F，3ABcm，7AFcm，30EAF，求B的度数和ABCD周长．【解答】解：在ABCD中，AFCD，BAAF，90BAF，30EAF，60BAE，AEBC，30B；3ABcm，1.5AEcm，故AEBCAFCD，则1.573BC，解得：BC14，故14ADcm，则ABCD周长为：(143)234(cm)．2．如...
面积等量问题的存在性方法点拨面积转化CDBDSSACDABD：：HEAISSBCHABC：：例题演练1．抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐...
面积的存在性问题解题策略专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．例题解析例❶如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y＝x2－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4...
将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，...
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最...
胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线M...
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考...
瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定...
费马点求最小值内容导航方法点拨△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小例题演练题组1：费马点在三角形中运用例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是（用a，b表示）【解答】【探究】证明： 以PC和...
反比例函数中的相似三角形问题1、阅读理解在研究函数y＝||的图象性质时，我们用“描点”的方法画出函数的图象．列出表示几组x与y的对应值：x﹣6﹣4﹣3﹣2﹣112346y＝||12366321描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数y＝||的图象，如图1：可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当x＞0时，与函数y＝在第一象限的图象相同；当x＜0时，与函数y＝﹣在第二象限的...
中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练二次函数与面积的最值定值问题【真题再现】1．（2020年宿迁中考第28题）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC...
动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP为等腰直角三角形，黑色部分为P点位置.【一题多解典例剖析】例题1．（2021湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如1,1,2021,2021都是“雁点”．（1）求函数4yx图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25yaxxc上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当1a时．①求c的取值范围；...
等边三角形的存在性方法点拨一、两定一动A、确定点的位置B、求解过程二、两动一定三、方法总结例题演练题组1：两定一动1．如图，已知抛物线C1与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线C1在第一象限交于点M．（1）求抛物线C1的解析式，并求出其对称轴；（2）①当m＝1时，直接写出抛物线C2的解析式；②直接...
阿氏圆中的双线段模型与最值问题【专题说明】“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB∽△CAP推出PA2PBPC，即：半径的平方=原有线段构造线段。【模型展示】如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则ABDBACDC．证明：ABDACDSBDSCD，ABDACDSABDEABSACDFAC，即ABDBACDC（2）外角平分...
阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=kOB，连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？...
2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练（学生版）目标层级图课中讲解相似三角形存在性问题题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：1.分类讨论，其余两个角对应相等。2.数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。题型：一.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.已知RtA...
2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练（学生版）目标层级图二次函数相似三角形存在性问题求三角形相似直角三角形存在性非直角三角形存在性已知三角形相似课中讲解相似三角形存在性问题题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：1.分类讨论，其余两个角对应相等。2.数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的...
2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--线段关系专项训练（学生版）目标层级图课中讲解一.两线段（或多线段）比值的最值与定值问题内容讲解分析：基本的方法仍然是设坐标处理，问到两个线段的比值时我们可以用相似来转化，有可能会出现定值或变化的情况。也有一些题目是多条线段的比值或者加减，我们先从几何的角都进行转化，然后再利用两点间距离公式进行计算。例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)yaxbxca与x...
